Упр.29.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $$y=x^2-\lvert 2x-6\rvert$$, проведённых через точки с абсциссами $$x=5$$, $$x=-5$$.
б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $$y=x^3+\lvert x-1\rvert$$, проведённых через точки с абсциссами $$x=2$$, $$x=-2$$.
а) При $$x=5$$ имеем $$|2x-6|=2x-6$$, поэтому
$$f(x)=x^2-(2x-6)=x^2-2x+6,$$
$$f'(x)=2x-2.$$
Тогда
$$f(5)=25-10+6=21,$$
$$f'(5)=10-2=8.$$
Уравнение касательной:
$$y-21=8(x-5),$$
$$y=8x-19.$$
При $$x=-5$$ имеем $$|2x-6|=-(2x-6)=-2x+6$$, поэтому
$$f(x)=x^2-(-2x+6)=x^2+2x-6,$$
$$f'(x)=2x+2.$$
Тогда
$$f(-5)=25-10-6=9,$$
$$f'(-5)=-10+2=-8.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=-8(x+5),$$
$$y=-8x-31.$$
Найдём точку пересечения касательных:
$$8x-19=-8x-31,$$
$$16x=-12,$$
$$x=-\frac{3}{4}.$$
Подставим в любое из уравнений:
$$y=8\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-19=-6-19=-25.$$
б) При $$x=2$$ имеем $$|x-1|=x-1$$, поэтому
$$f(x)=x^3+(x-1)=x^3+x-1,$$
$$f'(x)=3x^2+1.$$
Тогда
$$f(2)=8+2-1=9,$$
$$f'(2)=12+1=13.$$
Уравнение касательной:
$$y-9=13(x-2),$$
$$y=13x-17.$$
При $$x=-2$$ имеем $$|x-1|=-(x-1)=-x+1$$, поэтому
$$f(x)=x^3- x+1,$$
$$f'(x)=3x^2-1.$$
Тогда
$$f(-2)=-8+2+1=-5,$$
$$f'(-2)=12-1=11.$$
Уравнение касательной:
$$y+5=11(x+2),$$
$$y=11x+17.$$
Найдём точку пересечения касательных:
$$13x-17=11x+17,$$
$$2x=34,$$
$$x=17.$$
Подставим в любое из уравнений:
$$y=13\cdot 17-17=204.$$
Ответ
а) $$\left(-\frac{3}{4};-25\right)$$; б) $$\left(17;204\right)$$.
