Упр.29.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) На оси $$y$$ взята точка $$B$$, из неё проведены касательные к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $$60^\circ$$. Найдите координаты точки $$B$$.

   б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$, которые пересекаются под углом $$120^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.

Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания.

а)

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда

$$f'(x)=\sqrt{3}x,$$

а уравнение касательной в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}a(x-a).$$

После упрощения получаем

$$y=\sqrt{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a^2,$$

то есть угловой коэффициент касательной равен $$k=\sqrt{3}a.$$

Пусть касательные соответствуют точкам $$a_1$$ и $$a_2$$. Так как они пересекаются на оси $$y$$, их ординаты при $$x=0$$ равны:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a_1^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a_2^2,$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1=\pm a_2.$$

Угол между прямыми равен $$60^\circ$$, значит

$$\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

Подставим $$k_1=\sqrt{3}a_1$$, $$k_2=\sqrt{3}a_2$$:

$$\frac{\sqrt{3}(a_1-a_2)}{1+3a_1a_2}=\sqrt{3},$$

$$a_1-a_2=1+3a_1a_2.$$

С учётом $$a_1=\pm a_2$$ получаем два случая:

1) $$a_1=a_2$$. Тогда из условия угла получаем $$a_1=a_2=1$$, и точка пересечения касательных:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1^2=0.$$

Значит, $$B_2(0;0).$$

2) $$a_1=-a_2$$. Тогда

$$-2a_2=1-3a_2^2,$$

$$3a_2^2-2a_2-1=0,$$

$$a_2=1 \text{ или } a_2=-\frac13.$$

Для $$a_2=-\frac13$$ получаем

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{9}=\frac{4\sqrt{3}}{9}.$$

Значит, $$B_1\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{9}\right).$$

б)

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x,$$

и касательная в точке $$x=a$$ имеет уравнение

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}a(x-a).$$

После упрощения:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}\left(a^2-2ax+1\right).$$

Её угловой коэффициент:

$$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Пусть касательные соответствуют точкам $$a_1$$ и $$a_2$$. Так как они пересекаются в точке на оси $$y$$, то

$$\frac{\sqrt{3}}{6}(a_1^2+1)=\frac{\sqrt{3}}{6}(a_2^2+1),$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1=\pm a_2.$$

Угол между прямыми равен $$120^\circ$$, значит

$$\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}=\tan 120^\circ=-\sqrt{3}.$$

Подставим $$k_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_1$$, $$k_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_2$$:

$$\frac{\sqrt{3}(a_2-a_1)}{3+a_1a_2}=-\sqrt{3},$$

$$a_1-a_2=3+a_1a_2.$$

Если $$a_1=-a_2$$, то

$$-2a_2=3-a_2^2,$$

$$a_2^2-2a_2-3=0,$$

$$a_2=3 \text{ или } a_2=-1.$$

Отсюда получаем пары точек касания $$a=\pm 1$$ и $$a=\pm 3$$, а соответствующие касательные:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x),$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x),\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$

Ответ

а) $$B_1\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{9}\right),\; B_2(0;0).$$

б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),\; y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x),\; y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x),\; y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$