Упр.29.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) На оси $$y$$ взята точка B, из неё проведены касательные к графику функции $$y=3-\frac{1}{2}x^2$$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $$90^\circ$$. Найдите координаты точки B.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=0{,}5x^2-2{,}5$$, которые пересекаются под углом $$90^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.
Пусть точки касания имеют абсциссы $$x=a_1$$ и $$x=a_2$$. Тогда угловые коэффициенты касательных равны значениям производной в этих точках.
а)
$$f(x)=3-\frac12x^2,$$
$$f'(x)=-x,$$
значит, для касательной в точке $$x=a$$ имеем $$k=-a$$.
Уравнение касательной:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=3-\frac12a^2-a(x-a)=3+\frac12a^2-ax.$$
Так как обе касательные пересекаются в точке $$B$$ на оси $$y$$, то при $$x=0$$ их ординаты равны:
$$3+\frac12a_1^2=3+\frac12a_2^2,$$
откуда
$$a_1^2=a_2^2.$$
Кроме того, касательные перпендикулярны, значит
$$k_1k_2=-1,$$
то есть
$$(-a_1)(-a_2)= -1,$$
$$a_1a_2=-1.$$
Из системы
$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1a_2=-1$$
получаем
$$a_1=\pm1,\qquad a_2=\mp1.$$
Найдём координату точки пересечения на оси $$y$$:
$$y=3+\frac12\cdot 1^2=3+\frac12=\frac72.$$
Следовательно,
$$B\left(0;\frac72\right).$$
б)
$$f(x)=\frac12x^2-2{,}5,$$
$$f'(x)=x,$$
значит, касательная в точке $$x=a$$ имеет вид
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac12a^2-2{,}5+a(x-a)=ax-2{,}5-\frac12a^2.$$
Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y$$. Тогда при $$x=0$$ их ординаты равны:
$$-2{,}5-\frac12a_1^2=-2{,}5-\frac12a_2^2,$$
откуда
$$a_1^2=a_2^2.$$
Так как касательные перпендикулярны, то
$$k_1k_2=-1,$$
то есть
$$a_1a_2=-1.$$
Следовательно,
$$a_1=\pm1,\qquad a_2=\mp1.$$
Подставим:
при $$a=1$$
$$y=x-2{,}5-\frac12=x-3,$$
при $$a=-1$$
$$y=-x-2{,}5-\frac12=-x-3.$$
Итак, искомые касательные:
$$y=x-3,\qquad y=-x-3.$$
Ответ
а) $$B\left(0;\frac72\right)$$; б) $$y=x-3$$ и $$y=-x-3$$.
