Упр.29.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=x^3$$, $$x>0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{2}{3}$$.
   б) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=x^3$$, $$x<0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{27}{8}$$.

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда $$f(a)=a^3,\qquad f'(a)=3a^2.$$

Уравнение касательной к графику $$y=x^3$$ в точке $$x=a$$:

$$y=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

С осью $$Ox$$:

$$3a^2x-2a^3=0,\qquad x=\frac{2a}{3}.$$

С осью $$Oy$$:

$$y(0)=-2a^3.$$

Площадь треугольника, отсекаемого осями координат, равна

$$S=\frac12\left|\frac{2a}{3}\right|\cdot\left|-2a^3\right|=\frac{2a^4}{3}.$$

а)

$$\frac{2a^4}{3}=\frac23 \;\Rightarrow\; a^4=1.$$

Так как $$x>0,$$ то $$a=1.$$ Тогда

$$y=3\cdot 1^2x-2\cdot 1^3=3x-2.$$

б)

$$\frac{2a^4}{3}=\frac{27}{8} \;\Rightarrow\; 16a^4=81 \;\Rightarrow\; a^4=\frac{81}{16}.$$

Так как $$x<0,$$ то $$a=-\frac32.$$ Тогда

$$y=3\left(-\frac32\right)^2x-2\left(-\frac32\right)^3=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$

Ответ

а) $$y=3x-2.$$
б) $$y=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$