Упр.29.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых касательная к графику функции $$y=\cos 7x+7\cos x$$ в точках с абсциссой $$a$$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $$\frac{\pi}{6}$$.
   б) Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых касательные к графикам функций $$y=2-14\sin 3x$$ и $$y=6\sin 7x$$ в точках с абсциссой $$a$$ параллельны.

а) Найдём производную функции $$f(x)=\cos 7x+7\cos x.$$

$$f'(x)=-7\sin 7x-7\sin x.$$

Касательная в точке с абсциссой $$x=a$$ параллельна касательной в точке $$x=\frac{\pi}{6}$$, если их угловые коэффициенты равны:

$$f'(a)=f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Вычислим производную в заданной точке:

$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-7\sin\frac{7\pi}{6}-7\sin\frac{\pi}{6}=7\cdot\frac12-7\cdot\frac12=0.$$

Тогда нужно решить уравнение

$$-7\sin 7a-7\sin a=0,$$

или

$$\sin 7a+\sin a=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin 4a\cos 3a=0.$$

Отсюда

$$\sin 4a=0 \quad \text{или} \quad \cos 3a=0.$$

Получаем:

$$4a=\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi n}{4},$$

$$3a=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Найдём производные функций $$f(x)=2-14\sin 3x$$ и $$g(x)=6\sin 7x.$$

$$f'(x)=-42\cos 3x,$$

$$g'(x)=42\cos 7x.$$

Касательные параллельны, если

$$f'(a)=g'(a).$$

Тогда

$$-42\cos 3a=42\cos 7a,$$

$$\cos 7a+\cos 3a=0.$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos 5a\cos 2a=0.$$

Следовательно,

$$\cos 5a=0 \quad \text{или} \quad \cos 2a=0.$$

Отсюда

$$5a=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5},$$

$$2a=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$a=\frac{\pi n}{4}$$ или $$a=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \ n\in\mathbb{Z}.$$