Упр.29.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$, которые пересекаются под углом $$120^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2), \qquad f'(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x,$$
$$f(a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2), \qquad f'(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}a(x-a)$$
$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}\bigl(a^2-2ax+1\bigr).$$

Значит, угловой коэффициент касательной равен

$$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y$$. Тогда их абсциссы точек касания симметричны: $$a_2=-a_1.$$

Угол между прямыми равен $$120^\circ$$, поэтому

$$\tan 120^\circ=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.$$

Подставим $$k_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_1$$ и $$k_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_2$$:

$$-\sqrt{3}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}a_2+\frac{\sqrt{3}}{3}a_1}{1+\frac{a_1a_2}{3}}$$
$$-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}(a_1-a_2)}{3+a_1a_2}.$$

С учетом $$a_2=-a_1$$ получаем:

$$-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}(a_1+a_1)}{3-a_1^2}$$
$$-1=\frac{2a_1}{3-a_1^2}$$
$$a_1^2-2a_1-3=0.$$

$$a_1=3 \text{ или } a_1=-1.$$

Соответственно, вторые абсциссы:

$$a_2=-3 \text{ или } a_2=1.$$

Найдём уравнения касательных.

При $$a=-1$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}\bigl((-1)^2-2(-1)x+1\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1).$$

При $$a=1$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}\bigl(1-2x+1\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x).$$

При $$a=-3$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}\bigl(9+6x+1\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x).$$

При $$a=3$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}\bigl(9-6x+1\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$

Ответ

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1), \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x), \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x), \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$