Упр.29.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{1}{x^2}<0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{9}{8}$$.

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0=a,\quad a<0.$$ Тогда

$$f(x)=\frac{1}{x^2},\qquad f'(x)=-\frac{2}{x^3}.$$

Уравнение касательной в точке $$x=a$$:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^3}(x-a)=\frac{3}{a^2}-\frac{2}{a^3}x.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

При $$y=0$$:

$$\frac{3}{a^2}-\frac{2}{a^3}x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{3a}{2}.$$

При $$x=0$$:

$$y=\frac{3}{a^2}.$$

Площадь треугольника, отсекаемого осями координат, равна

$$S=\frac{1}{2}\left|\frac{3a}{2}\right|\cdot \left|\frac{3}{a^2}\right|=\frac{9}{4|a|}.$$

По условию $$S=\frac{9}{8}$$, значит

$$\frac{9}{4|a|}=\frac{9}{8}\quad \Rightarrow \quad |a|=2.$$

Так как $$a<0$$, то $$a=-2.$$

Подставим это в уравнение касательной:

$$y=\frac{3}{(-2)^2}-\frac{2}{(-2)^3}x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}x.$$

Ответ: $$y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}.$$