Упр.29.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для функции $$f(x)=\sqrt{3-x}$$ найдём производную:

$$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$

а) $$B(-2;3)$$

Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда касательная проходит через точку $$B(-2;3)$$ и её уравнение:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Подставим точку $$B$$:

$$3=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(-2-a).$$

Умножим на $$2\sqrt{3-a}$$:

$$6\sqrt{3-a}=2(3-a)+2+a=8-a.$$

Возведём в квадрат:

$$36(3-a)=(8-a)^2,$$

$$108-36a=64-16a+a^2,$$

$$a^2+20a-44=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=20^2+4\cdot 44=576,$$

$$a_{1,2}=\frac{-20\pm 24}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=-22,\qquad a_2=2.$$

Найдём уравнения касательных.

При $$a=-22$$:

$$f(-22)=\sqrt{25}=5,\qquad f'(-22)=-\frac{1}{2\cdot 5}=-0{,}1.$$

Тогда

$$y-5=-0{,}1(x+22),$$

$$y=-0{,}1x+2{,}8.$$

При $$a=2$$:

$$f(2)=\sqrt{1}=1,\qquad f'(2)=-\frac{1}{2}=-0{,}5.$$

Тогда

$$y-1=-0{,}5(x-2),$$

$$y=-0{,}5x+2.$$

б) $$B(4;0)$$

Аналогично, пусть абсцисса точки касания равна $$a$$. Тогда

$$0=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(4-a).$$

Умножим на $$2\sqrt{3-a}$$:

$$4-a=2(3-a).$$

Отсюда

$$4-a=6-2a,$$

$$a=2.$$

Тогда

$$f(2)=1,\qquad f'(2)=-0{,}5.$$

Уравнение касательной:

$$y-1=-0{,}5(x-2),$$

$$y=-0{,}5x+2.$$

Ответ

а) $$y=-0{,}1x+2{,}8$$ и $$y=-0{,}5x+2$$; б) $$y=-0{,}5x+2$$.