Упр.29.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси $$x$$ касательная к графику функции $$y=f(x)$$, проведённая в точке с абсциссой $$x=a$$, если:
   а) $$f(x)=4+x^2$$, $$a=2$$;
   б) $$f(x)=1-\frac{1}{x}$$, $$a=3$$;
   в) $$f(x)=(1-x)^3$$, $$a=-3$$;
   г) $$f(x)=2x-x^3$$, $$a=1$$?

Используем правило: если $$f'(a)>0,$$ то касательная образует с положительным направлением оси $$x$$ острый угол, а если $$f'(a)<0,$$ — тупой.

1. $$f(x)=4+x^2,\quad a=2$$

   $$f'(x)=2x,$$

   $$f'(2)=2\cdot 2=4>0.$$

   Касательная образует острый угол.

2. $$f(x)=1-\frac{1}{x},\quad a=3$$

   $$f'(x)=\frac{1}{x^2},$$

   $$f'(3)=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}>0.$$

   Касательная образует острый угол.

3. $$f(x)=(1-x)^3,\quad a=-3$$

   $$f'(x)=-3(1-x)^2,$$

   $$f'(-3)=-3(1-(-3))^2=-3\cdot 4^2=-48<0.$$

   Касательная образует тупой угол.

4. $$f(x)=2x-x^3,\quad a=1$$

   $$f'(x)=2-3x^2,$$

   $$f'(1)=2-3\cdot 1^2=-1<0.$$

   Касательная образует тупой угол.

Ответ: а) острый; б) острый; в) тупой; г) тупой.