Упр.29.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Проведите касательную к графику функции $$y=x^2+1$$, проходящую через точку $$A$$, не принадлежащую этому графику, если: а) $$A(-1; 2)$$; б) $$A(0; 0)$$; в) $$A(0; -3)$$; г) $$A(-1; 1)$$.

Подробный ответ

Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания. Тогда

$$f(a)=a^2+1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(a)=2a.$$

Уравнение касательной к графику $$y=x^2+1$$ в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=(a^2+1)+2a(x-a)=2ax+1-a^2.$$

$$A(-1;-2)$$
Подставим координаты точки в уравнение касательной:
$$-2=2a\cdot(-1)+1-a^2,$$
$$a^2+2a-3=0,$$
$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16,$$
$$a_1=-3,\qquad a_2=1.$$
Тогда касательные:
при $$a=-3$$
$$y=2\cdot(-3)x+1-(-3)^2=-6x-8,$$
при $$a=1$$
$$y=2x+1-1=2x.$$
$$A(0;0)$$
$$0=2a\cdot0+1-a^2,$$
$$a^2=1,\qquad a=\pm1.$$
Тогда касательные:
при $$a=-1$$
$$y=2\cdot(-1)x+1-(-1)^2=-2x,$$
при $$a=1$$
$$y=2x+1-1=2x.$$
$$A(0;-3)$$
$$-3=2a\cdot0+1-a^2,$$
$$a^2=4,\qquad a=\pm2.$$
Тогда касательные:
при $$a=-2$$
$$y=2\cdot(-2)x+1-(-2)^2=-4x-3,$$
при $$a=2$$
$$y=2\cdot2x+1-2^2=4x-3.$$
$$A(-1;1)$$
$$1=2a\cdot(-1)+1-a^2,$$
$$a^2+2a=0,$$
$$a(a+2)=0,\qquad a_1=-2,\qquad a_2=0.$$
Тогда касательные:
при $$a=-2$$
$$y=2\cdot(-2)x+1-(-2)^2=-4x-3,$$
при $$a=0$$
$$y=2\cdot0\cdot x+1-0^2=1.$$