Упр.29.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

С помощью формулы $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$ вычислите приближённо: а) $$0{,}998^5$$; б) $$\sqrt{1{,}05}$$; в) $$1{,}03^7$$; г) $$\sqrt{3{,}99}$$.

Используем формулу линейного приближения:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

1. $$f(x)=x^5,\quad a=1,\quad x=0{,}998.$$

   $$f(1)=1,\qquad f'(x)=5x^4,\qquad f'(1)=5.$$

   $$0{,}998^5 \approx 1+5(0{,}998-1)=1+5\cdot(-0{,}002)=0{,}99.$$

2. $$f(x)=\sqrt{x},\quad a=1,\quad x=1{,}05.$$

   $$f(1)=1,\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f'(1)=\frac12.$$

   $$\sqrt{1{,}05}\approx 1+\frac12(1{,}05-1)=1+0{,}025=1{,}025.$$

3. $$f(x)=x^7,\quad a=1,\quad x=1{,}03.$$

   $$f(1)=1,\qquad f'(x)=7x^6,\qquad f'(1)=7.$$

   $$1{,}03^7 \approx 1+7(1{,}03-1)=1+7\cdot 0{,}03=1{,}21.$$

4. $$f(x)=\sqrt{x},\quad a=4,\quad x=3{,}99.$$

   $$f(4)=2,\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f'(4)=\frac14.$$

   $$\sqrt{3{,}99}\approx 2+\frac14(3{,}99-4)=2+\frac14\cdot(-0{,}01)=1{,}9975.$$

Ответ: а) $$0{,}99$$; б) $$1{,}025$$; в) $$1{,}21$$; г) $$1{,}9975$$.