Упр.29.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) Вычислите координаты точек пересечения с осью $$y$$ тех касательных к графику функции $$y=\frac{3x-1}{x+8}$$, которые образуют угол $$45^\circ$$ с осью $$x$$.
б) Вычислите координаты точек пересечения с осью $$y$$ тех касательных к графику функции $$y=\frac{x+4}{x-5}$$, которые образуют угол $$135^\circ$$ с осью $$x$$.
Для касательной к графику функции угол наклона к оси $$x$$ задаёт её угловой коэффициент: $$k=\tan \alpha.$$
Точка пересечения с осью $$y$$ находится при $$x=0$$.
а)
$$f(x)=\frac{3x-1}{x+8}, \qquad \alpha=45^\circ.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(3x-1)'(x+8)-(3x-1)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}.$$
Так как $$\tan 45^\circ=1,$$ получаем:
$$\frac{25}{(x+8)^2}=1 \Rightarrow (x+8)^2=25 \Rightarrow x+8=\pm 5.$$
Отсюда:
$$x_1=-13,\qquad x_2=-3.$$
Найдём ординаты точек касания:
$$f(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8, \qquad f(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2.$$
Уравнения касательных:
$$y=8+1(x+13)=x+21, \qquad y=-2+1(x+3)=x+1.$$
Их пересечения с осью $$y$$:
$$y_1(0)=21,\qquad y_2(0)=1.$$
б)
$$f(x)=\frac{x+4}{x-5}, \qquad \alpha=135^\circ.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{(x+4)'(x-5)-(x+4)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{(x-5)-(x+4)}{(x-5)^2} =-\frac{9}{(x-5)^2}.$$
Так как $$\tan 135^\circ=-1,$$ имеем:
$$-\frac{9}{(x-5)^2}=-1 \Rightarrow (x-5)^2=9 \Rightarrow x-5=\pm 3.$$
Отсюда:
$$x_1=2,\qquad x_2=8.$$
Найдём ординаты точек касания:
$$f(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2, \qquad f(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4.$$
Уравнения касательных:
$$y=-2-1(x-2)=-x, \qquad y=4-1(x-8)=12-x.$$
Их пересечения с осью $$y$$:
$$y_1(0)=0,\qquad y_2(0)=12.$$
Ответ
а) $$(0; 21),\ (0; 1)$$
б) $$(0; 0),\ (0; 12)$$
