Упр.29.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая образует с осью $$x$$ заданный угол $$\alpha$$, если:

1. а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x$$, $$\alpha=60^\circ$$;
2. б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3$$, $$\alpha=30^\circ$$.

а) Найдём производную функции:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x,$$

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}.$$

Угол наклона касательной равен $$60^\circ,$$ значит её угловой коэффициент:

$$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3},$$

$$x^2-3=1,$$

$$x^2=4,$$

$$x=\pm 2.$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(-2)=\frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3-3\sqrt{3}(-2)=-\frac{8}{\sqrt{3}}+6\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3},$$

$$f(2)=\frac{1}{\sqrt{3}}2^3-3\sqrt{3}\cdot 2=\frac{8}{\sqrt{3}}-6\sqrt{3}=-\frac{10\sqrt{3}}{3}.$$

Уравнения касательных:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

При $$x_0=-2$$:

$$y=\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}(x+2)=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

При $$x_0=2$$:

$$y=-\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}(x-2)=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

б) Найдём производную функции:

$$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3,$$

$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3x^2=\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2.$$

Угол наклона касательной равен $$30^\circ,$$ значит

$$k=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

$$4-3x^2=1,$$

$$3x^2=3,$$

$$x^2=1,$$

$$x=\pm 1.$$

Найдём значения функции:

$$f(-1)=\frac{4}{\sqrt{3}}(-1)-\frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3=-\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3},$$

$$f(1)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

Уравнения касательных:

При $$x_0=-1$$:

$$y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

При $$x_0=1$$:

$$y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: а) $$y=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}$$; $$y=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}$$; б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.