Упр.29.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Напишите уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-2$$, которые параллельны заданной прямой: а) $$y=x-3$$; б) $$y=9x-5$$.

Для функции $$f(x)=\frac{x^3}{3}-2$$ найдём производную:

$$f'(x)=x^2.$$

Касательная параллельна заданной прямой тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту этой прямой.

а)

Для прямой $$y=x-3$$ имеем $$k=1$$. Тогда

$$f'(x)=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Найдём точки касания:

$$f(1)=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}, \qquad f(-1)=-\frac{1}{3}-2=-\frac{7}{3}.$$

Уравнения касательных:

$$y-\left(-\frac{5}{3}\right)=1(x-1),$$

откуда

$$y=x-\frac{8}{3}.$$

Для точки $$(-1;-\frac{7}{3})$$:

$$y-\left(-\frac{7}{3}\right)=1(x+1),$$

откуда

$$y=x-\frac{4}{3}.$$

б)

Для прямой $$y=9x-5$$ имеем $$k=9$$. Тогда

$$f'(x)=9 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$

Найдём точки касания:

$$f(3)=\frac{27}{3}-2=7, \qquad f(-3)=\frac{-27}{3}-2=-11.$$

Уравнения касательных:

$$y-7=9(x-3),$$

откуда

$$y=9x-20.$$

Для точки $$(-3;-11)$$:

$$y+11=9(x+3),$$

откуда

$$y=9x+16.$$

Ответ

а) $$y=x-\frac{4}{3}$$; $$y=x-\frac{8}{3}$$.

б) $$y=9x+16$$; $$y=9x-20$$.