Упр.29.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$f(x)=\sin x$$, $$y=-x$$; б) $$f(x)=\cos 3x$$, $$y=0$$; в) $$f(x)=\operatorname{tg}x$$, $$y=x$$; г) $$f(x)=\sin\frac{x}{3}$$, $$y=-1$$.
Для параллельности касательной и прямой их угловые коэффициенты должны быть равны. Поэтому находим производную функции и приравниваем её к угловому коэффициенту заданной прямой.
$$f(x)=\sin x,\quad y=-x$$
$$f'(x)=\cos x$$
Так как $$y=-x$$, то угловой коэффициент прямой равен $$-1$$. Тогда
$$\cos x=-1$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Точка касания:
$$y=\sin(\pi+2\pi n)=0$$
$$\left(\pi+2\pi n;\,0\right),\quad n\in\mathbb Z$$
$$f(x)=\cos 3x,\quad y=0$$
$$f'(x)=-3\sin 3x$$
У прямой $$y=0$$ угловой коэффициент равен $$0$$, значит
$$-3\sin 3x=0$$
$$\sin 3x=0$$
$$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{3}$$
Точка касания:
$$y=\cos\left(3\cdot\frac{\pi n}{3}\right)=\cos(\pi n)=(-1)^n$$
$$\left(\frac{\pi n}{3};\,(-1)^n\right),\quad n\in\mathbb Z$$
$$f(x)=\tg x,\quad y=x$$
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$$
У прямой $$y=x$$ угловой коэффициент равен $$1$$, поэтому
$$\frac{1}{\cos^2 x}=1$$
$$\cos^2 x=1$$
$$\cos x=\pm1$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Точка касания:
$$y=\tg(\pi n)=0$$
$$\left(\pi n;\,0\right),\quad n\in\mathbb Z$$
$$f(x)=\sin\frac{x}{3},\quad y=-1$$
$$f'(x)=\frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}$$
У прямой $$y=-1$$ угловой коэффициент равен $$0$$, значит
$$\frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$
$$\cos\frac{x}{3}=0$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n$$
Точка касания:
$$y=\sin\left(\frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n$$
$$\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;\,(-1)^n\right),\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ:
а) $$\left(\pi+2\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z$$; б) $$\left(\frac{\pi n}{3};\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z$$; в) $$\left(\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z$$; г) $$\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z$$.
