Упр.29.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- В каких точках касательная к графику заданной функции $$y=f(x)$$ параллельна заданной прямой $$y=kx+m$$:
а) $$f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4,\quad y=3+x$$;
б) $$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+8,\quad y=0$$;
в) $$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x-7,\quad y=x-3$$;
г) $$f(x)=\frac{5}{4}x^4-x^3+6,\quad y=2$$?
Найдём угловой коэффициент заданной прямой и приравняем его производной функции: в точках касания касательная параллельна прямой, значит их угловые коэффициенты равны.
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4,\quad y=x+3$$
$$f'(x)=x^2-6x+10$$
У прямой $$y=x+3$$ угловой коэффициент равен $$1$$, поэтому
$$x^2-6x+10=1$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0,\quad x=3$$
$$y(3)=\frac{3^3}{3}-3\cdot 3^2+10\cdot 3-4=8$$
Точка касания: $$\left(3;8\right)$$.
$$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+8,\quad y=0$$
$$f'(x)=x^3-2x$$
У прямой $$y=0$$ угловой коэффициент равен $$0$$, значит
$$x^3-2x=0$$
$$x\left(x^2-2\right)=0$$
$$x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}$$
$$y(0)=8,\quad y(\pm\sqrt{2})=\frac{(\sqrt{2})^4}{4}-(\sqrt{2})^2+8=7$$
Точки касания: $$\left(0;8\right),\ \left(-\sqrt{2};7\right),\ \left(\sqrt{2};7\right)$$.
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x-7,\quad y=x-3$$
$$f'(x)=x^2-2x+2$$
У прямой $$y=x-3$$ угловой коэффициент равен $$1$$, поэтому
$$x^2-2x+2=1$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0,\quad x=1$$
$$y(1)=\frac{1^3}{3}-1^2+2\cdot 1-7=-\frac{16}{3}$$
Точка касания: $$\left(1;-\frac{16}{3}\right)$$.
$$f(x)=\frac{5}{4}x^4-x^3+6,\quad y=2$$
$$f'(x)=5x^3-3x^2$$
У прямой $$y=2$$ угловой коэффициент равен $$0$$, значит
$$5x^3-3x^2=0$$
$$x^2(5x-3)=0$$
$$x=0,\quad x=\frac{3}{5}$$
$$y(0)=6$$
$$y\!\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{5}{4}\left(\frac{3}{5}\right)^4-\left(\frac{3}{5}\right)^3+6=\frac{1497}{250}$$
Точки касания: $$\left(0;6\right),\ \left(\frac{3}{5};\frac{1497}{250}\right)$$.
Ответ
а) $$\left(3;8\right)$$; б) $$\left(0;8\right),\ \left(-\sqrt{2};7\right),\ \left(\sqrt{2};7\right)$$; в) $$\left(1;-\frac{16}{3}\right)$$; г) $$\left(0;6\right),\ \left(\frac{3}{5};\frac{1497}{250}\right)$$.
