Упр.29.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Через точку $$B$$ проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$, если:
а) $$f(x)=-x^2-7x+8$$, $$B(1;1)$$;
б) $$f(x)=-x^2-7x+8$$, $$B(0;9)$$.

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда её уравнение имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=-x^2-7x+8,\quad B(1;1).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2x-7.$$

Тогда

$$f(a)=-a^2-7a+8,\qquad f'(a)=-2a-7.$$

Уравнение касательной:

$$y=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$B(1;1)$$, подставим её координаты:

$$1=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(1-a).$$

После упрощения получаем:

$$a^2-2a=0,$$

$$a(a-2)=0,$$

откуда $$a=0$$ или $$a=2$$.

При $$a=0$$:

$$y=8-7x.$$

При $$a=2$$:

$$y=12-11x.$$

б)

$$f(x)=-x^2-7x+8,\quad B(0;9).$$

Уравнение касательной снова запишем в виде

$$y=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(x-a).$$

Так как она проходит через точку $$B(0;9)$$, имеем:

$$9=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(0-a).$$

Упростим:

$$9=a^2+8,$$

$$a^2=1,$$

$$a=\pm1.$$

При $$a=1$$:

$$y=9-5x.$$

При $$a=-1$$:

$$y=9-9x.$$

Ответ

а) $$y=8-7x$$, $$y=12-11x$$;

б) $$y=9-5x$$, $$y=9-9x$$.