Упр.29.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

На графике функции $$y=x^3-3x^2+x+1$$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45. Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3-3x^2+x+1,$$

$$f'(x)=3x^2-6x+1.$$

Касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$45^\circ,$$ значит её угловой коэффициент равен

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Тогда

$$3x^2-6x+1=1,$$

$$3x^2-6x=0,$$

$$3x(x-2)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\quad x_2=2.$$

Найдём соответствующие точки графика:

$$f(0)=0^3-3\cdot 0^2+0+1=1,$$

$$f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+1=8-12+2+1=-1.$$

Итак, точки касания: $$(0;1)$$ и $$(2;-1).$$

Составим уравнения касательных по формуле

$$y-y_0=k(x-x_0).$$

Для точки $$(0;1)$$:

$$y-1=1(x-0),$$

$$y=x+1.$$

Для точки $$(2;-1)$$:

$$y+1=1(x-2),$$

$$y=x-3.$$

Ответ: точки $$(0;1)$$ и $$(2;-1);$$ касательные $$y=x+1$$ и $$y=x-3.$$