Упр.29.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём уравнение касательной по формуле

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а)

$$f(x)=\ctg 2x,\qquad a=\frac{\pi}{4}.$$

Вычислим значение функции в точке касания:

$$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\ctg 2x\right)’=-\frac{2}{\sin^2 2x}.$$

Тогда

$$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=-2.$$

Подставим в формулу касательной:

$$y=0-2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-2x+\frac{\pi}{2}.$$

б)

$$f(x)=2\tg\frac{x}{3},\qquad a=0.$$

Вычислим значение функции в точке касания:

$$f(0)=2\tg 0=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\left(\tg\frac{x}{3}\right)’=2\cdot\frac{1}{3\cos^2\frac{x}{3}}=\frac{2}{3\cos^2\frac{x}{3}}.$$

Тогда

$$f'(0)=\frac{2}{3\cos^2 0}=\frac{2}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=0+\frac{2}{3}(x-0)=\frac{2}{3}x.$$

Ответ

а) $$y=-2x+\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=\frac{2}{3}x$$.