Упр.28.52 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) При каких значениях параметра $$a$$ касательные к графику функции $$y=4x^2-|a|x$$, проведённые в точках его пересечения с осью $$x$$, образуют между собой угол 60?
б) При каких значениях параметра $$a$$ касательные к графику функции $$y=x^2+|a|x$$, проведённые в точках его пересечения с осью $$x$$, образуют между собой угол 45?
Найдём точки пересечения графика с осью $$x$$ и угловые коэффициенты касательных в этих точках.
а)
$$f(x)=4x^2-|a|x$$
Точки пересечения с осью $$x$$:
$$4x^2-|a|x=0$$
$$x(4x-|a|)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=\frac{|a|}{4}$$
Производная:
$$f'(x)=8x-|a|$$
Угловые коэффициенты касательных:
$$k_1=f'(0)=-|a|,\qquad k_2=f’\!\left(\frac{|a|}{4}\right)=8\cdot \frac{|a|}{4}-|a|=|a|$$
Угол между касательными равен $$60^\circ$$, значит
$$\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\tan 60^\circ=\sqrt{3}$$
Подставим:
$$\frac{|a|-(-|a|)}{1+(-|a|)\cdot |a|}=\sqrt{3}$$
$$\frac{2|a|}{1-a^2}=\sqrt{3}$$
$$2|a|=\sqrt{3}(1-a^2)$$
Так как левая часть неотрицательна, получаем $$1-a^2\ge 0$$. Решим уравнение относительно $$|a|$$:
$$\sqrt{3}|a|^2+2|a|-\sqrt{3}=0$$
$$D=4+12=16$$
$$|a|=\frac{-2+4}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Следовательно,
$$a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$
б)
$$f(x)=x^2+|a|x$$
Точки пересечения с осью $$x$$:
$$x^2+|a|x=0$$
$$x(x+|a|)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=-|a|$$
Производная:
$$f'(x)=2x+|a|$$
Угловые коэффициенты касательных:
$$k_1=f'(0)=|a|,\qquad k_2=f'(-|a|)=-|a|$$
Угол между касательными равен $$45^\circ$$, значит
$$\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\tan 45^\circ=1$$
Подставим:
$$\frac{-|a|-|a|}{1+|a|\cdot(-|a|)}=1$$
$$\frac{-2|a|}{1-a^2}=1$$
$$-2|a|=1-a^2$$
$$a^2-2|a|-1=0$$
Обозначим $$t=|a|$$, тогда
$$t^2-2t-1=0$$
$$t=1\pm \sqrt{2}$$
Так как $$t=|a|\ge 0$$, подходит только
$$|a|=1+\sqrt{2}$$
Следовательно,
$$a=\pm(1+\sqrt{2})$$
Ответ
а) $$a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$; б) $$a=\pm(1+\sqrt{2})$$.
