Упр.28.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдём первообразную для каждой заданной производной.

1. $$f'(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Так как $$\frac{d}{dx}\cos u=-\sin u\cdot u’,$$ то

   $$\frac{d}{dx}\left(-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right)= -\frac13\cdot\left(-\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right)\cdot 3=\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Следовательно,

   $$f(x)=-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C.$$

2. $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2(5x-1)}=4\sec^2(5x-1).$$

   Так как $$\frac{d}{dx}\tg u=\frac{u’}{\cos^2 u},$$ то

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac45\tg(5x-1)\right)=\frac45\cdot\frac{5}{\cos^2(5x-1)}=\frac{4}{\cos^2(5x-1)}.$$

   Следовательно,

   $$f(x)=\frac45\tg(5x-1)+C.$$

Ответ: а) $$f(x)=-\frac13\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C$$; б) $$f(x)=\frac45\tg(5x-1)+C$$.