Упр.28.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) При каких значениях $$a$$ касательные к графикам функций $$y=x^7$$ и $$y=x^8$$ в точке $$x=a$$ не имеют общих точек?

б) При каких значениях $$a$$ касательные к графикам функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{x+8}$$ в точке $$x=a$$ не имеют общих точек?

Чтобы касательные к графикам функций в точке $$x=a$$ не имели общих точек, они должны быть параллельны и различны.

а)

$$f(x)=x^7,\qquad g(x)=x^8.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=7x^6,\qquad g'(x)=8x^7.$$

Условие параллельности касательных:

$$7a^6=8a^7.$$

$$a^6(7-8a)=0.$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac78.$$

При $$a=0$$ касательные совпадают, так как обе проходят через точку $$\bigl(0,0\bigr)$$ и имеют одинаковый наклон. Значит, подходит только

$$a=\frac78.$$

б)

$$f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=2\sqrt{x+8}.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad g'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+8}}=\frac{1}{\sqrt{x+8}}.$$

Условие параллельности касательных:

$$\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a+8}}.$$

$$\sqrt{a+8}=2\sqrt{a}.$$

Возведём в квадрат:

$$a+8=4a,$$

$$3a=8,$$

$$a=\frac83.$$

При этом касательные различны, значит условие выполнено.

Ответ

а) $$a=\frac78$$; б) $$a=\frac83$$.