Упр.28.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $$f(x) < g(x)$$, если:
   а) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x$$, $$g(x)=\frac{1}{2}x+61$$;
   б) $$f(x)=\sin x\cdot\cos 2x+\sin 2x\cdot\cos x$$, $$g(x)=35-3x$$;
   в) $$f(x)=\sin^2 x-\cos^2 x$$, $$g(x)=-2x+9$$;
   г) $$f(x)=x\cos x$$, $$g(x)=\sin x$$.

а) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x,\qquad g(x)=\frac12x+61.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$

$$g'(x)=\left(\frac12x+61\right)’=\frac12.$$

Тогда нужно решить неравенство

$$\cos 2x\le \frac12.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos 2x+\sin 2x\cdot \cos x,\qquad g(x)=35-3x.$$

Преобразуем функцию:

$$f(x)=\sin(x+2x)=\sin 3x.$$

Тогда

$$f'(x)=3\cos 3x,\qquad g'(x)=(35-3x)’=-3.$$

Решаем неравенство

$$3\cos 3x\le -3,$$

$$\cos 3x\le -1.$$

Это возможно только при

$$\cos 3x=-1,$$

то есть

$$3x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$f(x)=\sin^2 x-\cos^2 x,\qquad g(x)=-2x+9.$$

Имеем

$$f(x)=-(\cos^2 x-\sin^2 x)=-\cos 2x.$$

Тогда

$$f'(x)=2\sin 2x,\qquad g'(x)=(-2x+9)’=-2.$$

Решаем неравенство

$$2\sin 2x\le -2,$$

$$\sin 2x\le -1.$$

Значит,

$$\sin 2x=-1,$$

откуда

$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$f(x)=x\cos x,\qquad g(x)=\sin x.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=(x)’\cos x+x(\cos x)’=\cos x-x\sin x,$$

$$g'(x)=(\sin x)’=\cos x.$$

Тогда

$$\cos x-x\sin x\le \cos x,$$

$$-x\sin x\le 0.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$x\ge 0,$$ то нужно $$\sin x\ge 0,$$ значит $$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\ge 0;$$
• если $$x\le 0,$$ то нужно $$\sin x\le 0,$$ значит $$x\in[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\le 0.$$

Итак,

$$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\ge 0;\qquad x\in[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\ n\le 0.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\ge 0;\quad x\in[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\ n\le 0.$$