Упр.28.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите корни уравнения $$f'(x)=0$$, принадлежащие отрезку $$[0;2]$$, если известно, что $$f(x)=\cos^2 x+1+\sin x$$.
б) Найдите корни уравнения $$f'(x)=0$$, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$, если известно, что $$f(x)=\sin^2 x-\cos x-1$$.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\cos^2 x+1+\sin x=\frac{1+\cos 2x}{2}+1+\sin x=\frac12\cos 2x+\sin x+\frac32.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac12(\cos 2x)’+(\sin x)’=\frac12\cdot(-2\sin 2x)+\cos x=\cos x-\sin 2x.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\cos x-\sin 2x=0$$

$$\cos x-2\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(1-2\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-2\sin x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$ На отрезке $$[0;2]$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{2}.$$

2) $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$ На отрезке $$[0;2]$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{6}.$$

Итак, на отрезке $$[0;2]$$ корни уравнения $$f'(x)=0$$:

$$\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}.$$

б) $$f(x)=\sin^2 x-\cos x-1=\frac{1-\cos 2x}{2}-\cos x-1=-\frac12\cos 2x-\cos x-\frac12.$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac12(\cos 2x)’-(-\sin x)= -\frac12\cdot(-2\sin 2x)+\sin x=\sin 2x+\sin x.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\sin 2x+\sin x=0$$

$$2\sin x\cos x+\sin x=0$$

$$\sin x(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$ На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходит только $$x=\pi.$$

2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$ На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходят $$x=\frac{2\pi}{3}$$ и $$x=\frac{4\pi}{3}.$$

Итак, на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ корни уравнения $$f'(x)=0$$:

$$\frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}.$$