Упр.28.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $$y=h(x)$$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $$\alpha$$:

а) $$h(x)=x^2-3x+19$$, $$\alpha=45$$;

б) $$h(x)=\frac{4}{x+2}$$, $$\alpha=135$$;

в) $$h(x)=2\sqrt{2x-4}$$, $$\alpha=60$$;

г) $$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$$, $$\alpha=0$$.

Подробный ответ

Найдём производную функции и приравняем её к $$\tan \alpha$$, так как угловой коэффициент касательной равен $$\tan \alpha$$.

$$h(x)=x^2-3x+19,\quad \alpha=45^\circ$$
$$h'(x)=2x-3$$
$$\tan 45^\circ=1$$
Тогда
$$2x-3=1$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
$$h(x)=\frac{4}{x+2},\quad \alpha=135^\circ$$
$$h'(x)=-\frac{4}{(x+2)^2}$$
$$\tan 135^\circ=-1$$
Тогда
$$-\frac{4}{(x+2)^2}=-1$$
$$\frac{4}{(x+2)^2}=1$$
$$(x+2)^2=4$$
$$x+2=\pm 2$$
$$x=-4,\;0$$
$$h(x)=2\sqrt{2x-4},\quad \alpha=60^\circ$$
$$h'(x)=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-4}}=\frac{2}{\sqrt{2x-4}}$$
$$\tan 60^\circ=\sqrt{3}$$
Тогда
$$\frac{2}{\sqrt{2x-4}}=\sqrt{3}$$
$$2=\sqrt{3}\sqrt{2x-4}$$
$$4=3(2x-4)$$
$$4=6x-12$$
$$6x=16$$
$$x=\frac{8}{3}$$
$$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\quad \alpha=0^\circ$$
$$h'(x)=4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$\tan 0^\circ=0$$
Тогда
$$4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$4x=\frac{5\pi}{6}+\pi n$$
$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}$$