Упр.28.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $$f'(x)=g'(x)$$, если:
   а) $$f(x)=\sin(2x-3),\quad g(x)=\cos(2x-3);$$
   б) $$f(x)=\frac{6}{5x-9},\quad g(x)=\frac{3}{7-5x};$$
   в) $$f(x)=\sqrt{3x-10},\quad g(x)=\sqrt{14+6x};$$
   г) $$f(x)=\operatorname{ctg}x,\quad g(x)=2x+15.$$

Найдём производные функций и приравняем их.

1. $$f(x)=\sin(2x-3), \quad g(x)=\cos(2x-3)$$

   $$f'(x)=2\cos(2x-3), \quad g'(x)=-2\sin(2x-3)$$

   Решаем уравнение:

   $$2\cos(2x-3)=-2\sin(2x-3)$$

   $$\cos(2x-3)=-\sin(2x-3)$$

   $$\tg(2x-3)=-1$$

   $$2x-3=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$x=\frac{12-\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. $$f(x)=\frac{6}{5x-9}, \quad g(x)=\frac{3}{7-5x}$$

   $$f'(x)=-\frac{30}{(5x-9)^2}, \quad g'(x)=\frac{15}{(7-5x)^2}$$

   Приравниваем:

   $$-\frac{30}{(5x-9)^2}=\frac{15}{(7-5x)^2}$$

   Левая часть отрицательна, правая положительна, значит равенство невозможно.

   Решений нет.

3. $$f(x)=\sqrt{3x-10}, \quad g(x)=\sqrt{14+6x}$$

   $$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}, \quad g'(x)=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}$$

   Решаем уравнение:

   $$\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}$$

   $$\sqrt{14+6x}=2\sqrt{3x-10}$$

   $$14+6x=4(3x-10)$$

   $$14+6x=12x-40$$

   $$6x=54$$

   $$x=9$$

4. $$f(x)=\ctg x, \quad g(x)=2x+15$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}, \quad g'(x)=2$$

   Приравниваем:

   $$-\frac{1}{\sin^2 x}=2$$

   Но левая часть отрицательна, а правая положительна, значит равенство невозможно.

   Решений нет.

Ответ: а) $$x=\frac{12-\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$; б) решений нет; в) $$x=9$$; г) решений нет.