Упр.28.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=g(x)$$ больше скорости изменения функции $$y=h(x)$$:
   а) $$g(x)=x^3-3x^2$$, $$h(x)=1{,}5x^2-9$$;
   б) $$g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$, $$h(x)=6x-12$$;
   в) $$g(x)=\operatorname{tg}x$$, $$h(x)=4x-81$$;
   г) $$g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)$$, $$h(x)=3-\sqrt{2}x$$.

а) Найдём производные функций:

$$g'(x)=(x^3-3x^2)’=3x^2-6x,$$

$$h'(x)=(1{,}5x^2-9)’=3x.$$

Составим неравенство:

$$3x^2-6x>3x,$$

$$3x^2-9x>0,$$

$$3x(x-3)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$

б) Найдём производные функций:

$$g'(x)=\bigl(\sin(3x-\tfrac{\pi}{6})\bigr)’=3\cos\left(3x-\tfrac{\pi}{6}\right),$$

$$h'(x)=(6x-12)’=6.$$

Составим неравенство:

$$3\cos\left(3x-\tfrac{\pi}{6}\right)>6,$$

$$\cos\left(3x-\tfrac{\pi}{6}\right)>2.$$

Так как $$-1\le \cos t\le 1,$$ то решений нет.

$$x\in\varnothing.$$

в) Найдём производные функций:

$$g'(x)=(\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},$$

$$h'(x)=(4x-81)’=4.$$

Составим неравенство:

$$\frac{1}{\cos^2 x}>4.$$

Так как $$\cos x\ne 0,$$ то

$$1>4\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x<\frac14,$$

$$|\cos x|<\frac12.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$

г) Найдём производные функций:

$$g'(x)=\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{4}-2x)\bigr)’=2\sin\left(\tfrac{\pi}{4}-2x\right),$$

$$h'(x)=(3-\sqrt2\,x)’=-\sqrt2.$$

Составим неравенство:

$$2\sin\left(\tfrac{\pi}{4}-2x\right)>-\sqrt2,$$

$$\sin\left(\tfrac{\pi}{4}-2x\right)>-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi k<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<-2x<\pi+2\pi k,$$

$$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty);$$ б) $$x\in\varnothing;$$ в) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi k;\frac{2\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$ г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\frac{\pi}{4}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$