Упр.28.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=f(x)$$ равна скорости изменения функции $$y=g(x)$$:
   а) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2,\quad g(x)=7{,}5x^2-16x$$;
   б) $$f(x)=\sqrt{x},\quad g(x)=-\frac{1}{x}$$?

Найдём производные функций и приравняем их.

а)

$$f(x)=\frac13x^3-x^2,\qquad g(x)=7{,}5x^2-16x$$

$$f'(x)=\left(\frac13x^3-x^2\right)’=x^2-2x$$

$$g'(x)=\left(7{,}5x^2-16x\right)’=15x-16$$

Составим уравнение:

$$x^2-2x=15x-16$$
$$x^2-17x+16=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-16\right)=0$$

$$x=1 \text{ или } x=16$$

б)

$$f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=-\frac1x$$

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’=\frac1{2\sqrt{x}}$$

$$g'(x)=\left(-\frac1x\right)’=\frac1{x^2}$$

Приравняем производные:

$$\frac1{2\sqrt{x}}=\frac1{x^2}$$
$$x^2=2\sqrt{x}$$

Так как $$x>0$$, возведём обе части в квадрат:

$$x^4=4x$$
$$x^3=4$$
$$x=\sqrt[3]{4}$$

Ответ: а) $$1,\ 16$$; б) $$\sqrt[3]{4}$$.