Упр.28.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $$y=h(x)$$ образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$, если:
а) $$h(x)=x^3-3x^2+1$$;
б) $$h(x)=4\sqrt{x}-x$$;
в) $$h(x)=x^3-x^4-19$$;
г) $$h(x)=\operatorname{tg}x-4x$$.
Так как касательная образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$, то $$\tan \alpha>0$$, а значит, нужно найти, где $$h'(x)>0$$.
$$h(x)=x^3-3x^2+1$$
$$h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$
Решаем неравенство:
$$3x(x-2)>0$$
$$x(x-2)>0$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$
$$h(x)=4\sqrt{x}-x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
$$h'(x)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2}{\sqrt{x}}-1=\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$
Требуется:
$$\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0$$
При $$x>0$$ знаменатель положителен, значит
$$2-\sqrt{x}>0$$
$$\sqrt{x}<2$$
$$x<4$$
С учетом ОДЗ:
$$x\in(0;4).$$
$$h(x)=x^3-x^4-19$$
$$h'(x)=3x^2-4x^3=x^2(3-4x)$$
Решаем неравенство:
$$x^2(3-4x)>0$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, а второй множитель должен быть положительным, получаем
$$3-4x>0,\quad x\ne 0$$
$$x<\frac34,\quad x\ne 0$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right).$$
$$h(x)=\tg x-4x$$
Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.
$$h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-4=\frac{1-4\cos^2 x}{\cos^2 x}$$
Требуется:
$$\frac{1-4\cos^2 x}{\cos^2 x}>0$$
Так как $$\cos^2 x>0$$ на области определения, то
$$1-4\cos^2 x>0$$
$$\cos^2 x<\frac14$$
$$|\cos x|<\frac12$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
при этом нужно исключить точки $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, где функция не определена. Поэтому
$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: а) $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in(0;4)$$; в) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right)$$; г) $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$
