Упр.28.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство $$g'(x)>0$$, если:

а) $$g(x)=x^3+x^4$$;

б) $$g(x)=\frac{4}{2-5x}$$.

а) $$g(x)=x^3+x^4$$

Найдём производную:

$$g'(x)=(x^3+x^4)’=3x^2+4x^3=x^2(3+4x).$$

Решаем неравенство:

$$x^2(3+4x)>0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ а знак произведения определяется множителем $$3+4x,$$ получаем:

$$3+4x>0,\quad x\ne 0.$$

Отсюда

$$x>-\frac34,\quad x\ne 0.$$

Значит,

$$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty).$$

б) $$g(x)=\frac{4}{2-5x}$$

Найдём производную:

$$g'(x)=4\left(2-5x\right)^{-1}{}’ =4\cdot(-1)\left(2-5x\right)^{-2}\cdot(-5)=\frac{20}{(2-5x)^2}.$$

Решаем неравенство:

$$\frac{20}{(2-5x)^2}>0.$$

Числитель положителен, а знаменатель должен быть отличен от нуля:

$$2-5x\ne 0,\quad x\ne \frac25.$$

Следовательно, неравенство выполняется при всех допустимых значениях $$x$$:

$$x\in\left(-\infty;\frac25\right)\cup\left(\frac25;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty)$$

б) $$x\in\left(-\infty;\frac25\right)\cup\left(\frac25;+\infty\right)$$