Упр.28.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство $$f'(x)<0$$, если:
   а) $$f(x)=x^3-x^4$$;
   б) $$f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{5}{3}x^3+6x$$.

Найдём производную и решим неравенство $$f'(x)<0$$.

а)

$$f(x)=x^3-x^4$$

Тогда

$$f'(x)=(x^3-x^4)’=3x^2-4x^3$$

Решаем неравенство:

$$3x^2-4x^3<0$$

$$x^2(3-4x)<0$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и при $$x=0$$ произведение равно нулю, то для строгого неравенства нужно:

$$3-4x<0$$

$$x>\frac34$$

Ответ: $$x\in\left(\frac34;+\infty\right)$$

б)

$$f(x)=\frac15x^5-\frac53x^3+6x$$

Тогда

$$f'(x)=\left(\frac15x^5-\frac53x^3+6x\right)’=x^4-5x^2+6$$

Решаем неравенство:

$$x^4-5x^2+6<0$$

Положим $$y=x^2$$. Тогда получаем:

$$y^2-5y+6<0$$

$$(y-2)(y-3)<0$$

Отсюда

$$2<y<3$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$2<x^2<3$$

Это равносильно системе:

$$x^2>2,\qquad x^2<3$$

То есть

$$x<-\sqrt2 \;\; \text{или} \;\; x>\sqrt2$$

и одновременно

$$-\sqrt3<x<\sqrt3$$

Пересечение этих промежутков:

$$x\in(-\sqrt3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt3)$$

Ответ: $$x\in(-\sqrt3;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt3)$$