Упр.28.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ равен $$k$$, если:
   а) $$f(x)=\sqrt{x}-x$$, $$k=1$$;
   б) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x$$, $$k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   в) $$f(x)=\sqrt{x}+3x$$, $$k=4$$;
   г) $$f(x)=\cos^2 x$$, $$k=\frac{1}{2}$$.

а) $$f(x)=\sqrt{x}-x,$$ $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$

Ищем точки, где $$f'(x)=1$$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=1$$

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$

$$2\sqrt{x}=\frac12$$

$$\sqrt{x}=\frac14$$

$$x=\left(\frac14\right)^2=\frac{1}{16}.$$

Ответ: $$\frac{1}{16}.$$

б) $$f(x)=\sin x\cos x,$$ $$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

Ищем точки, где $$f'(x)=-\frac{\sqrt2}{2}$$:

$$\cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$f(x)=\sqrt{x}+3x,$$ $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+3.$$

Ищем точки, где $$f'(x)=4$$:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}+3=4$$

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

$$2\sqrt{x}=1$$

$$\sqrt{x}=\frac12$$

$$x=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Ответ: $$\frac14.$$

г) $$f(x)=\cos^2 x,$$ $$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-\sin 2x.$$

Ищем точки, где $$f'(x)=\frac12$$:

$$-\sin 2x=\frac12$$

$$\sin 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$