Упр.28.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $$y=h(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью $$x$$:
а) $$h(x)=(0{,}5x+3)^7$$, $$x_0=-4$$;
б) $$h(x)=\sqrt{6x+21}$$, $$x_0=\frac{1}{4}$$;
в) $$h(x)=\frac{18}{4x+1}$$, $$x_0=0{,}5$$;
г) $$h(x)=\sqrt{6-2x}$$, $$x_0=1$$.

а) $$h(x)=(0{,}5x+3)^7$$

Найдём производную:

$$h'(x)=7(0{,}5x+3)^6\cdot 0{,}5=3{,}5(0{,}5x+3)^6.$$

Тогда

$$\tg \alpha=h'(-4)=3{,}5\bigl(0{,}5\cdot(-4)+3\bigr)^6=3{,}5\cdot 1^6=3{,}5.$$

Ответ: $$3{,}5$$

б) $$h(x)=\sqrt{16x+21}$$

Найдём производную:

$$h'(x)=\frac{16}{2\sqrt{16x+21}}=\frac{8}{\sqrt{16x+21}}.$$

Тогда

$$\tg \alpha=h’\!\left(\frac14\right)=\frac{8}{\sqrt{16\cdot \frac14+21}}=\frac{8}{\sqrt{25}}=\frac85=1{,}6.$$

Ответ: $$1{,}6$$

в) $$h(x)=\frac{18}{4x+1}$$

Найдём производную:

$$h'(x)=18\left(\frac{1}{4x+1}\right)’=18\left(-\frac{4}{(4x+1)^2}\right)=-\frac{72}{(4x+1)^2}.$$

Тогда

$$\tg \alpha=h'(0{,}5)=-\frac{72}{(4\cdot 0{,}5+1)^2}=-\frac{72}{3^2}=-8.$$

Ответ: $$-8$$

г) $$h(x)=\sqrt{6-2x}$$

Найдём производную:

$$h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{6-2x}}\cdot(-2)=-\frac{1}{\sqrt{6-2x}}.$$

Тогда

$$\tg \alpha=h'(1)=-\frac{1}{\sqrt{6-2\cdot 1}}=-\frac{1}{\sqrt4}=-\frac12.$$

Ответ: $$-\frac12$$