Упр.28.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите значение производной функции в точке $$x_0$$:
   а) $$y=(3x-2)^7$$, $$x_0=3$$;
   б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$, $$x_0=\frac{\pi}{12}$$;
   в) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$, $$x_0=\frac{\pi}{12}$$;
   г) $$y=\sqrt{25-9x}$$, $$x_0=1$$.

а) $$y=(3x-2)^7$$

Найдём производную:

$$y’ = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6.$$

Подставим $$x_0=3$$:

$$y'(3)=21(3\cdot 3-2)^6=21\cdot 7^6=3\cdot 7^7.$$

Ответ: $$3\cdot 7^7$$.

б) $$y=\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)$$

Тогда

$$y’=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)\cdot(-2)=-2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

При $$x_0=\frac{\pi}{12}$$ получаем:

$$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=-2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2\cdot\frac{\pi}{12}\right)=-2\cos 0=-2.$$

Ответ: $$-2$$.

в) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{1}{\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}\cdot 3=\frac{3}{\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}.$$

Подставим $$x_0=\frac{\pi}{12}$$:

$$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3}{\cos^2\left(3\cdot\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{3}{\cos^2 0}=3.$$

Ответ: $$3$$.

г) $$y=\sqrt{25-9x}$$

Тогда

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{25-9x}}\cdot(-9)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9x}}.$$

При $$x_0=1$$:

$$y'(1)=-\frac{9}{2\sqrt{25-9\cdot 1}}=-\frac{9}{2\sqrt{16}}=-\frac{9}{8}=-1\frac{1}{8}.$$

Ответ: $$-1\frac{1}{8}$$.