Упр.28.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для заданной функции $$f(x)$$ найдите значение её производной в указанной точке:

1. а) $$f(x)=x^2\sin x,\quad f’\left(\frac{\pi}{2}\right)=?$$
   б) $$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\frac{x^2}{\pi}+x\sin\left(\frac{\pi}{6}\right),\quad f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=?$$
   в) $$f(x)=x(1+\cos x),\quad f'(\pi)=?$$
   г) $$f(x)=\sqrt{3}\cos x-x\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+\frac{x^2}{\pi},\quad f’\left(\frac{\pi}{3}\right)=?$$

а) $$f(x)=x^2\sin x$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=(x^2)’\sin x+x^2(\sin x)’=2x\sin x+x^2\cos x$$

Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:

$$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \sin \frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\cos \frac{\pi}{2}=\pi\cdot 1+\frac{\pi^2}{4}\cdot 0=\pi$$

б) $$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\frac{x^2}{\pi}+x\sin \frac{\pi}{6}$$

Тогда

$$f'(x)=\sqrt{3}\cos x+\frac{2x}{\pi}+\sin \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\cos x+\frac{2x}{\pi}+\frac12$$

Подставим $$x=\frac{\pi}{6}$$:

$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\cos \frac{\pi}{6}+\frac{2\cdot \frac{\pi}{6}}{\pi}+\frac12=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac13+\frac12=\frac32+\frac13+\frac12=\frac{7}{3}$$

в) $$f(x)=x(1+\cos x)$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=1\cdot(1+\cos x)+x(-\sin x)=1+\cos x-x\sin x$$

Тогда

$$f'(\pi)=1+\cos \pi-\pi\sin \pi=1-1-0=0$$

г) $$f(x)=\sqrt{3}\cos x-x\cos \frac{\pi}{6}+\frac{x^2}{\pi}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{3}(-\sin x)-\cos \frac{\pi}{6}+\frac{2x}{\pi}=-\sqrt{3}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2x}{\pi}$$

Подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

$$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\sin \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2\cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac23$$

$$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac32-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac23=\frac{4-9-3\sqrt{3}}{6}=-\frac{5+3\sqrt{3}}{6}$$

Ответ: а) $$\pi$$; б) $$\frac{7}{3}$$; в) $$0$$; г) $$-\frac{5+3\sqrt{3}}{6}$$.