Упр.28.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите скорость изменения данной функции в данной точке $$x_0$$:
   а) $$y=2\sin x-4x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$;
   б) $$y=\frac{\tg x}{3},\quad x_0=-\frac{\pi}{3}$$;
   в) $$y=-3\cos x+x,\quad x_0=-\frac{\pi}{6}$$;
   г) $$y=\frac{\ctg x}{5},\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$.

Найдём производную функции и подставим заданное значение $$x_0$$.

1. $$y=2\sin x-4x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$

   $$y’=(2\sin x-4x)’=2\cos x-4$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}-4=2\cdot\frac12-4=1-4=-3$$

   Ответ: $$-3$$

2. $$y=\frac{\tg x}{3},\quad x_0=-\frac{\pi}{3}$$

   $$y’=\left(\frac{\tg x}{3}\right)’=\frac{1}{3\cos^2 x}$$

   $$y’\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{3\cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{1}{3\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{3\cdot\frac14}=\frac{4}{3}$$

   Ответ: $$\frac{4}{3}$$

3. $$y=-3\cos x+x,\quad x_0=-\frac{\pi}{6}$$

   $$y’=(-3\cos x+x)’=3\sin x+1$$

   $$y’\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)+1=3\cdot\left(-\frac12\right)+1=-\frac32+1=-\frac12$$

   Ответ: $$-\frac12$$

4. $$y=\frac{\ctg x}{5},\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$

   $$y’=\left(\frac{\ctg x}{5}\right)’=-\frac{1}{5\sin^2 x}$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{5\sin^2\frac{\pi}{3}}=-\frac{1}{5\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=-\frac{1}{5\cdot\frac34}=-\frac{4}{15}$$

   Ответ: $$-\frac{4}{15}$$