Упр.28.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите скорость изменения функции $$y=g(x)$$ в точке $$x_0$$:
   а) $$g(x)=x^3+2x,\quad x_0=2$$;
   б) $$g(x)=(\sqrt{x}+1)\sqrt{x},\quad x_0=1$$;
   в) $$g(x)=x^2+4\sqrt{x}-4x,\quad x_0=4$$;
   г) $$g(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right),\quad x_0=-0{,}5$$.

Найдём производную функции и подставим заданное значение $$x_0$$.

1. $$g(x)=x^3+2x,\quad x_0=2$$

   $$g'(x)=(x^3+2x)’=3x^2+2$$

   $$g'(2)=3\cdot 2^2+2=12+2=14$$

   Ответ: $$14$$

2. $$g(x)=(\sqrt{x}+1)\sqrt{x},\quad x_0=1$$

   Упростим выражение:

   $$g(x)=x+\sqrt{x}$$

   Тогда

   $$g'(x)=(x+\sqrt{x})’=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   $$g'(1)=1+\frac{1}{2\cdot 1}=1+\frac12=\frac32=1{,}5$$

   Ответ: $$1{,}5$$

3. $$g(x)=x^2+4\sqrt{x}-4x,\quad x_0=4$$

   $$g'(x)=(x^2+4\sqrt{x}-4x)’=2x+\frac{2}{\sqrt{x}}-4$$

   $$g'(4)=2\cdot 4+\frac{2}{\sqrt{4}}-4=8+1-4=5$$

   Ответ: $$5$$

4. $$g(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right),\quad x_0=-0{,}5$$

   Упростим:

   $$g(x)=\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x}=4x^{-2}-2x^{-1}$$

   Тогда

   $$g'(x)=4(-2)x^{-3}-2(-1)x^{-2}=-8x^{-3}+2x^{-2}$$

   $$g'(-0{,}5)=-8\left(-0{,}5\right)^{-3}+2\left(-0{,}5\right)^{-2}$$

   $$g'(-0{,}5)=-8\cdot(-8)+2\cdot 4=64+8=72$$

   Ответ: $$72$$