Упр.28.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Найдём производные по правилу произведения и используя формулы $$\left(\tg x\right)’=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$, $$\left(\ctg x\right)’=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$$.
$$y=x\tg x$$
$$y’=(x\tg x)’=x’\tg x+x(\tg x)’=1\cdot \tg x+x\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}=\tg x+\dfrac{x}{\cos^2 x}$$
$$y=\sin x\cdot \tg x$$
$$y’=(\sin x\cdot \tg x)’=(\sin x)’\tg x+\sin x\cdot (\tg x)’=\cos x\cdot \tg x+\sin x\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}$$
$$y’=\sin x+\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\sin x\left(1+\dfrac{1}{\cos^2 x}\right)$$
$$y=x\ctg x$$
$$y’=(x\ctg x)’=x’\ctg x+x(\ctg x)’=1\cdot \ctg x+x\cdot \left(-\dfrac{1}{\sin^2 x}\right)=\ctg x-\dfrac{x}{\sin^2 x}$$
$$y=\cos x\cdot \ctg x$$
$$y’=(\cos x\cdot \ctg x)’=(\cos x)’\ctg x+\cos x\cdot (\ctg x)’=-\sin x\cdot \ctg x-\cos x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}$$
$$y’=-\cos x-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}=-\cos x\left(1+\dfrac{1}{\sin^2 x}\right)$$
Ответ: а) $$\tg x+\dfrac{x}{\cos^2 x}$$; б) $$\sin x\left(1+\dfrac{1}{\cos^2 x}\right)$$; в) $$\ctg x-\dfrac{x}{\sin^2 x}$$; г) $$-\cos x\left(1+\dfrac{1}{\sin^2 x}\right)$$.
