Упр.26.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции $$y=h(x)$$, обладающей указанными свойствами:
   а) $$\lim_{x\to+\infty} h(x)=4$$ и функция возрастает;
   б) $$\lim_{x\to+\infty} h(x)=1$$ и функция ограничена снизу;
   в) $$\lim_{x\to-\infty} h(x)=5$$ и функция убывает;
   г) $$\lim_{x\to\infty} h(x)=1$$ и функция ограничена.

Можно взять, например, такие функции:

1. $$h(x)=4-2^{-x}.$$

   Тогда при $$x\to +\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0,$$ значит $$h(x)\to 4.$$ Кроме того, функция возрастает.

2. $$h(x)=1+2^{-x}.$$

   При $$x\to +\infty$$ получаем $$2^{-x}\to 0,$$ поэтому $$h(x)\to 1.$$ Функция ограничена снизу, так как $$h(x)>1.$$

3. $$h(x)=5-2^x.$$

   При $$x\to -\infty$$ имеем $$2^x\to 0,$$ значит $$h(x)\to 5.$$ Функция убывает.

4. $$h(x)=1+\dfrac{6}{2^x+2^{-x}}.$$

   При $$x\to +\infty$$ знаменатель $$2^x+2^{-x}\to +\infty,$$ поэтому $$\dfrac{6}{2^x+2^{-x}}\to 0$$ и $$h(x)\to 1.$$ Функция ограничена, так как $$2^x+2^{-x}\ge 2,$$ следовательно $$1<h(x)\le 4.$$

Ответ: можно построить, например, графики функций $$h(x)=4-2^{-x},\; h(x)=1+2^{-x},\; h(x)=5-2^x,\; h(x)=1+\dfrac{6}{2^x+2^{-x}}.$$