Упр.26.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$$;
   б) $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}$$.

а) Используем тождество $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac12\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2.$$

Так как $$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,$$ получаем

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12.$$

б) Применим формулы разности синусов:

$$\sin 7x-\sin 3x=2\cos 5x\sin 2x,$$
$$\sin 8x-\sin 2x=2\cos 5x\sin 3x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\cos 5x\sin 2x}{2\cos 5x\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}.$$

Приведём к стандартному пределу:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin 3x}\cdot\frac{2}{3} = 1\cdot 1\cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$\frac23$$.