Упр.26.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$$
б) $$\lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x+\sin 3x}$$

а) Используем формулы приведения суммы к произведению:

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x} = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}}{2\cos \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}} = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \tg 2x.$$

Тогда

$$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \tg 2x=\tg \pi=0.$$

б) Аналогично:

$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x+\sin 3x} = \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin \frac{5x+3x}{2}\sin \frac{5x-3x}{2}}{2\sin \frac{5x+3x}{2}\cos \frac{5x-3x}{2}} = \lim_{x\to 0} \left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \lim_{x\to 0} (-\tg x).$$

Следовательно,

$$\lim_{x\to 0} (-\tg x)=-\tg 0=0.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$.