Упр.26.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите:
   а) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)$$;
   б) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5}{x^3}+1\right)\left(-\frac{8}{x^2}-2\right)$$;
   в) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)$$;
   г) $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{7}{x^6}-2\right)\left(-\frac{6}{x^{10}}-3\right)$$.

Используем теоремы о пределах суммы и произведения, а также тот факт, что при $$x \to \infty$$ величины $$\frac{1}{x^n} \to 0$$.

Ход решения

1. $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}+3\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^3}=0+3\cdot 0=0.$$

2. $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{5}{x^3}+1\right)\left(-\frac{8}{x^2}-2\right)=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{5}{x^3}+1\right)\left(\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{8}{x^2}-2\right)\right).$$

   $$=(5\cdot 0+1)(-8\cdot 0-2)=1\cdot(-2)=-2.$$

3. $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)=2\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}+8\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^3}=2\cdot 0+8\cdot 0=0.$$

4. $$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{7}{x^6}-2\right)\left(-\frac{6}{x^{10}}-3\right)=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{7}{x^6}-2\right)\left(\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{6}{x^{10}}-3\right)\right).$$

   $$=(7\cdot 0-2)(-6\cdot 0-3)=(-2)(-3)=6.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-2$$; в) $$0$$; г) $$6$$.