Упр.25.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$-6+\frac{2}{3}-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}-\ldots$$; б) $$3+\sqrt{3}+1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots$$; в) $$49-14+4-\frac{8}{7}+\ldots$$; г) $$4+2\sqrt{2}+2+\sqrt{2}+\ldots$$.

а) Это сумма бесконечной геометрической прогрессии, где $$b_1=-6,$$ $$q=\frac{\frac{2}{3}}{-6}=-\frac{1}{9}.$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-6}{1-(-\frac{1}{9})}=\frac{-6}{\frac{10}{9}}=-\frac{54}{10}=-5{,}4.$$

Ответ: $$-5{,}4.$$

б) Здесь $$b_1=3,$$ $$q=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Найдём сумму:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}.$$

в) Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=49,$$ $$q=\frac{-14}{49}=-\frac{2}{7}.$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{49}{1-(-\frac{2}{7})}=\frac{49}{\frac{9}{7}}=49\cdot\frac{7}{9}=\frac{343}{9}=38\frac{1}{9}.$$

Ответ: $$38\frac{1}{9}.$$

г) Здесь $$b_1=4,$$ $$q=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Найдём сумму:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{8(2+\sqrt{2})}{4-2}=4(2+\sqrt{2})=8+4\sqrt{2}.$$

Ответ: $$8+4\sqrt{2}.$$