Упр.25.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

• а) $$2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots$$;
• б) $$49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{7^2}+\ldots$$;
• в) $$\frac{3}{2}-1+\frac{2}{3}-\frac{4}{9}+\ldots$$;
• г) $$125+25+5+1+\ldots$$

а) Это сумма бесконечной геометрической прогрессии, где $$b_1=2,$$ $$q=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4.$$

б) Здесь $$b_1=49,$$ $$q=\frac{7}{49}=\frac{1}{7}.$$

Тогда

$$S=\frac{49}{1-\frac{1}{7}}=\frac{49}{\frac{6}{7}}=49\cdot\frac{7}{6}=\frac{343}{6}=57\frac{1}{6}.$$

в) Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\frac{3}{2}$$ и знаменателем $$q=\frac{-1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$S=\frac{\frac{3}{2}}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{10}=0{,}9.$$

г) Здесь $$b_1=125,$$ $$q=\frac{25}{125}=\frac{1}{5}.$$

Тогда

$$S=\frac{125}{1-\frac{1}{5}}=\frac{125}{\frac{4}{5}}=125\cdot\frac{5}{4}=\frac{625}{4}=156\frac{1}{4}.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$57\frac{1}{6}$$; в) $$0{,}9$$; г) $$156\frac{1}{4}$$.