Упр.25.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Представьте в виде обыкновенной дроби: а) $$0,(15)$$; б) $$0,1(2)$$; в) $$0,(18)$$; г) $$0,2(34)$$.

Представим каждую периодическую дробь в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии.

1. $$0,(15)=0,15+0,0015+0,000015+\dots$$

   Здесь $$b_1=\frac{15}{100}, \quad q=\frac{1}{100}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{15}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{15}{99}=\frac{5}{33}.$$

2. $$0,1(2)=0,12+0,002+0,0002+\dots$$

   Здесь $$b_1=\frac{2}{100}, \quad q=\frac{1}{10}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{2}{100}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}.$$

   Но число $$0,1(2)=0,12222\dots=0,1+0,02222\dots,$$ поэтому

   $$0,1(2)=\frac{1}{10}+\frac{2}{90}=\frac{9}{90}+\frac{2}{90}=\frac{11}{90}.$$

3. $$0,(18)=0,18+0,0018+0,000018+\dots$$

   Здесь $$b_1=\frac{18}{100}, \quad q=\frac{1}{100}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{18}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}.$$

4. $$0,2(34)=0,23434\dots=0,2+0,034+0,00034+\dots$$

   Здесь $$b_1=\frac{34}{1000}, \quad q=\frac{1}{100}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{34}{1000}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{34}{990}=\frac{17}{495}.$$

   Следовательно,

   $$0,2(34)=\frac{1}{5}+\frac{17}{495}=\frac{99}{495}+\frac{17}{495}=\frac{116}{495}.$$

Ответ: $$\frac{5}{33},\ \frac{11}{90},\ \frac{2}{11},\ \frac{116}{495}.$$