Упр.25.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение, если известно, что $$|x|<1$$.

а) $$x+x^2+x^3+x^4+\ldots+x^n+\ldots=4$$;

б) $$2x-4x^2+8x^3-16x^4+\ldots=\frac{3}{8}$$.

Так как $$|x|<1,$$ данные суммы являются суммами бесконечных геометрических прогрессий.

а)

$$x+x^2+x^3+x^4+\dots=\frac{b_1}{1-q},$$

где $$b_1=x,$$ $$q=x.$$ Тогда

$$\frac{x}{1-x}=4.$$

Решим уравнение:

$$\begin{aligned} x&=4(1-x),\\ x&=4-4x,\\ 5x&=4,\\ x&=\frac45=0{,}8. \end{aligned}$$

б)

$$2x-4x^2+8x^3-16x^4+\dots=\frac{b_1}{1-q},$$

где $$b_1=2x,$$ $$q=-2x.$$ Тогда

$$\frac{2x}{1+2x}=\frac38.$$

Решим уравнение:

$$\begin{aligned} 8\cdot 2x&=3(1+2x),\\ 16x&=3+6x,\\ 10x&=3,\\ x&=\frac{3}{10}=0{,}3. \end{aligned}$$

Ответ: а) $$0{,}8$$; б) $$0{,}3$$.