Упр.25.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Упростите выражение (при условии, что $$x\ne\frac{\pi n}{2}$$): а) $$\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\dots+\sin^n x+\dots$$; б) $$\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\cos^4 x+\dots$$; в) $$\cos^2 x+\cos^4 x+\cos^6 x+\cos^8 x+\dots$$; г) $$1-\sin^3 x+\sin^6 x-\sin^9 x+\dots$$.

Пусть сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

1. $$\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\dots$$

   Здесь $$b_1=\sin x,\quad q=\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x.$$ Тогда

   $$S=\frac{\sin x}{1-\sin x}.$$

2. $$\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\cos^4 x+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с

   $$b_1=\cos x,\quad q=\frac{-\cos^2 x}{\cos x}=-\cos x.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{\cos x}{1+\cos x}.$$

3. $$\cos^2 x+\cos^4 x+\cos^6 x+\cos^8 x+\dots$$

   Здесь

   $$b_1=\cos^2 x,\quad q=\frac{\cos^4 x}{\cos^2 x}=\cos^2 x.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\ctg^2 x.$$

4. $$1-\sin^3 x+\sin^6 x-\sin^9 x+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с

   $$b_1=1,\quad q=-\sin^3 x.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{1}{1+\sin^3 x}.$$

Ответ: а) $$\frac{\sin x}{1-\sin x}$$; б) $$\frac{\cos x}{1+\cos x}$$; в) $$\ctg^2 x$$; г) $$\frac{1}{1+\sin^3 x}$$.