Упр.25.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна $$18$$, а сумма квадратов её членов равна $$162$$.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

Тогда сумма прогрессии равна

$$\frac{b_1}{1-q}=18,$$

а сумма квадратов её членов —

$$\frac{b_1^2}{1-q^2}=162.$$

Из первого равенства получаем

$$b_1=18(1-q).$$

Подставим это во второе равенство:

$$\frac{[18(1-q)]^2}{1-q^2}=162.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q),$$ то

$$\frac{324(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=162,$$

$$324\frac{1-q}{1+q}=162,$$

$$2(1-q)=1+q.$$

Отсюда

$$2-2q=1+q,$$

$$3q=1,$$

$$q=\frac13.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=18\left(1-\frac13\right)=18\cdot\frac23=12.$$

Следовательно, искомая геометрическая прогрессия начинается так:

$$12,\ 4,\ \frac43,\ \frac49,\ldots$$

Ответ: $$b_1=12,\ q=\frac13.$$