Упр.24.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Последовательность имеет вид $$1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots$$

Знаменатели — степени числа $$2$$: $$2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ldots$$

Значит, один из возможных вариантов формулы:

$$a_n=\frac{1}{2^{\,n-1}}.$$

б) Последовательность имеет вид $$\frac34,\ \frac56,\ \frac78,\ \frac9{10},\ \frac{11}{12},\ldots$$

Числитель на единицу меньше знаменателя, а знаменатели — чётные числа:

$$\frac{2\cdot1+1}{2\cdot1+2},\ \frac{2\cdot2+1}{2\cdot2+2},\ \frac{2\cdot3+1}{2\cdot3+2},\ldots$$

Следовательно,

$$a_n=\frac{2n+1}{2n+2}.$$

в) Последовательность имеет вид $$1,\ \frac18,\ \frac1{27},\ \frac1{64},\ \frac1{125},\ldots$$

Это дроби с знаменателями, равными кубам натуральных чисел:

$$1=\frac1{1^3},\ \frac18=\frac1{2^3},\ \frac1{27}=\frac1{3^3},\ldots$$

Значит,

$$a_n=\frac1{n^3}.$$

г) Последовательность имеет вид $$\frac1{3\cdot5},\ \frac1{5\cdot7},\ \frac1{7\cdot9},\ \frac1{9\cdot11},\ \frac1{11\cdot13},\ldots$$

В знаменателе стоят произведения двух последовательных нечётных чисел:

$$3=2\cdot1+1,\quad 5=2\cdot1+3,$$

$$5=2\cdot2+1,\quad 7=2\cdot2+3,\ldots$$

Поэтому

$$a_n=\frac1{(2n+1)(2n+3)}.$$

Ответ

а) $$a_n=\frac{1}{2^{\,n-1}}$$; б) $$a_n=\frac{2n+1}{2n+2}$$; в) $$a_n=\frac1{n^3}$$; г) $$a_n=\frac1{(2n+1)(2n+3)}$$.