Упр.24.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите предел последовательности $$(y_n)$$:
   а) $$y_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2};$$
   б) $$y_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n-1)^2};$$
   в) $$y_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2};$$
   г) $$y_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}.$$

Найдём пределы, разделив числитель и знаменатель на старшую степень $$n$$.

1. $$y_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}=\frac{2n^2-5n-3}{n^2}=2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}.$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=2-0-0=2.$$

2. $$y_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n-1)^2}=\frac{12n^2+n-1}{n^2-2n+1}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$n^2$$:
   $$y_n=\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}.$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\frac{12+0-0}{1-0+0}=12.$$

3. $$y_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}=\frac{6n^2+5n-6}{n^2}=6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}.$$
   Следовательно,
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=6+0-0=6.$$

4. $$y_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$n^2$$:
   $$y_n=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}.$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\frac{0-0-2}{1+0+0}=-2.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$12$$; в) $$6$$; г) $$-2$$.